Découverte fortuitement, j’ai appris à connaître la formule de Bayes, formule statistique, toute simple, qui permet d’expliquer un grand nombre d’évènements, ou d’en prédire leur survenue.
Cette formule, inventée par Thomas Bayes, a été publiée à titre posthume en 1763… Oubliée pendant longtemps, elle fait aujourd’hui son grand retour.
Cette formule permet de définir les estimations d’une probabilité ou d’un paramètre quelconque, à partir des observations et des lois de probabilité de ces observations. Si nous considérons 2 évènements A et B, le théorème de Bayes permet de déterminer la probabilité de A sachant B, si on connaît les probabilités de A, de B et de B sachant A.
La probabilité de A est noté P(A)
La probabilité de B est noté P(B)
La probabilité de A sachant B est notée P(A|B) => c’est ce qu’on cherche
La probabilité de B sachant A est notée P(B|A)
La formule s’écrit sous la forme : P(A|B) = P(B|A) x P(A) / P(B).
C’est une formule simple mais qui est très puissante.
Prenons un exemple :
Imaginons 3 gobelets, et une pièce. Le « magicien » fait aller la pièce de gobelet en gobelet, et le témoin doit prédire où elle se trouve.
Quand le témoin indique un gobelet, par exemple, le 1er. Il a une chance sur 3 de trouver le bon gobelet. Jusque là, c’est la simplicité même.
Imaginons que le magicien soulève le 3ème gobelet, pour montrer qu’il est vide. La pièce se trouve forcément soit dans le premier gobelet, soit dans le deuxième. Oui mais plutôt dans le premier ou plutôt dans le deuxième ??? Une chance sur deux ? Et bien non ! C’est à ce moment qu’intervient Bayes et sa formule !
Posons P(A|B) comme étant la probabilité que la pièce soit dans le gobelet 1 sachant que le magicien montre que le gobelet 3 est vide.
P(A) est que la pièce est dans le gobelet 1, et P(B) la probabilité que le magicien montre le gobelet 3. Il nous reste P(B|A) qui représente la probabilité que le magicien montre le gobelet 3 alors que la pièce est dans le gobelet 1.
Nous cherchons à connaître P(A|B), c’est à dire résoudre : P(A|B) = P(B|A) x P(A) / P(B)
P(B|A) = 1/2 car le magicien peut montrer soit le gobelet 2 soit le gobelet 3.
P(A) = 1/3 la probabilité que la pièce soit dans un gobelet
P(B) : la probabilité que le magicien montre le gobelet 3. Cette probabilité est égale à la somme de 3 hypothèses:
– la pièce est en 3 : le magicien ne peut pas montrer le gobelet 3, donc P=0.
– la pièce est en 2 : le gobelet 1 étant désigné, le magicien montrera que le gobelet 3, donc P=1/3.
– la pièce est en 1 : le gobelet 1 étant désignée le magicien montrera soit le gobelet 2, soit le gobelet 3 (au hasard). Il y a une chance sur 2, donc P= 1/2 x 1/3 = 1/6
donc P(B) = 0 + 1/3 + 1/6 = 1/2
Ce qui nous donne P(A|B) = 1/2 x 1/3 / 1/2 = 1/3.
Il y a donc une chance sur trois que la pièce soit dans le gobelet 1 après que le magicien est montré le gobelet 3. Comme la pièce est soit dans le gobelet 1, soit dans le gobelet 2, il reste 2 chance sur 3 que la pièce soit dans le gobelet 2 !
La formule de bayes possède de nombreuses utilisations, dans des domaines très variés, dont bien entendu celui de la santé.
